Потенциальная энергия пружины

Импульс системы тел

Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов тел, составляющих эту систему:

При рассмотрении любой механической задачи мы интересуемся движением определенного числа тел. Совокупность тел, движение которых мы изучаем, называется механической системой или просто системой.

Рассмотрим систему, состоящую из трех тел. На тела системы действуют внешние силы, а между телами действуют внутренние силы.
​\( F_1,F_2,F_3 \)​ – внешние силы, действующие на тела;
​\( F_{12}, F_{23}, F_{31}, F_{13}, F_{21}, F_{32} \)​ – внутренние силы, действующие между телами.
Вследствие действия сил на тела системы их импульсы изменяются. Если за малый промежуток времени сила заметно не меняется, то для каждого тела системы можно записать изменение импульса в виде уравнения:

В левой части каждого уравнения стоит изменение импульса тела за малое время ​\( \Delta t \)​.
Обозначим: ​\( v_0 \)​ – начальные скорости тел, а ​\( v^{\prime} \)​ – конечные скорости тел.
Сложим левые и правые части уравнений.

Но силы взаимодействия любой пары тел в сумме дают нуль.

Важно!
Импульс системы тел могут изменить только внешние силы, причем изменение импульса системы пропорционально сумме внешних сил и совпадает с ней по направлению. Внутренние силы, изменяя импульсы отдельных тел системы, не изменяют суммарный импульс системы

Связь между внутренней энергией тела кинетической и потенциальной энергиями

Между кинетической и потенциальными понятиями есть определенная взаимосвязь. Для расчета подобной связи используется следующая формула: А=Fs=mav22-v21/2a.

Оба значения применяются в качестве полезного действия, могут варьировать в достаточно большом диапазоне, а также зависеть от различных факторов.

В заключение отметим, что проводимые расчеты позволяют выбрать наиболее подходящий вариант исполнения изделия для конкретного механизма. При исследовании проводится отображение схемы, на которой можно увидеть распространение всех сил.

Вычисление работы силы упругости

Груз совершил известное перемещение, величину силы упругости мы также знаем, векторы перемещения и силы упругости параллельны. Казалось бы, все ясно – нужно умножить величину силы на величину перемещения и получить значение работы. Однако здесь не все так просто – разберемся почему.

О чем нам говорит формула, которая выражает величину силы упругости? О том, что сила упругости – величина не постоянная, она меняется по мере перемещения груза. И действительно, величина этой силы, как мы видим из формулы, зависит от координаты центра груза. Формула же для работы силы, которую мы применяли раньше, справедлива лишь в том случае, если сила не меняет свою величину по мере движения. Как же тогда быть? Один из вариантов выхода из данной ситуации мог бы состоять в том, что мы применим такой же метод, который применялся нами ранее в разделе кинематика при расчете перемещения тела, движущегося равноускоренно.

Можно всю траекторию движения груза разбить на очень маленькие участки (участки, в пределах которых силу упругости можно считать практически постоянной). Далее в пределах каждого такого участка мы можем рассчитать работу силы упругости ввиду ее практического постоянства. Затем работа на всей области движения груза будет складываться из всех этих маленьких работ на этих участках. Таким образом, мы сможем посчитать работу силы упругости на всей траектории движения груза. На рис. 4 приведены детали такого расчета.

Рис. 4. Зависимость силы упругости от координаты движения

Видно, что если отложить на графике зависимость модуля силы упругости от модуля координаты груза, затем проделать описанное выше разбиение на маленькие участки, то величина работы на каждом маленьком участке численно равна площади фигуры, ограниченной графиком: осью абсцисс и двумя перпендикулярами к этой оси (см. рис. 5).

Рис. 5. Площадь фигуры

Если просуммировать значение работы на каждом участке (площадь маленьких фигур), то получим площадь большой фигуры, показанной на рис. 6.

Рис. 6. Площадь большой фигуры

Поскольку данная фигура является прямоугольной трапецией, то мы можем воспользоваться формулой для расчета площади такой фигуры – это полусумма оснований, умноженная на высоту. В результате преобразований получим такую формулу – работа равна разности между величиной:

К этому результату можно прийти и несколько иным способом. Для вычисления работы силы упругости в этом способе необходимо просто взять среднее значение силы упругости и умножить его на перемещение тела. Это утверждение можно записать как:

,

где  среднее значение силы упругости, которое равно полусумме начального и конечного ее значений. Если данное выражение  подставить в формулу для работы, то при помощи простых алгебраических преобразований мы получим то же самое выражение, что получали ранее:

Как видно из этой формулы, работа зависит лишь от начальной и конечной координаты центра груза, и еще одно замечание: как видно из последней формулы, работа силы упругости никоим образом не зависит от массы груза. Это обусловлено тем, что и сама сила упругости не зависит от этой массы.

Теперь внимательнее посмотрим на последнюю формулу – если вынести -1 за скобки, то получим, что работа есть взятая со знаком минус разность между значениями некоторой величины, равной половине произведения жесткости пружины на квадрат ее удлинения в конечный и начальный моменты времени.

Вспомним, как мы поступили при расчете работы силы тяжести на прошлом уроке. В тот раз мы столкнулись с новой для нас физической величиной, разность между значениями которой в конечной и начальной моменты времени равнялась взятой со знаком « — » работе силы тяжести. Это величина, равная произведению массы тела на ускорение свободного падения и высоту, на которую было поднято тело над некоторым уровнем, мы назвали потенциальной энергией тела, поднятого над землей.

Вопрос 15

Текст вопроса

0047A6 В первой серии опытов по исследованию малых колебаний разных грузиков на нерастяжимой нити одинаковой длины использовался алюминиевый грузик, во второй – железный такого же объёма. Максимальный угол отклонения нити от вертикали в обоих исследованиях одинаковый.

Как при переходе от первой серии опытов ко второй изменятся период колебаний, частота колебаний и максимальная кинетическая энергия грузика?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Период колебаний грузика

Частота колебаний грузика

Максимальная кинетическая энергия грузика

Постигаем закон Гука

Все объекты природы могут деформироваться, т.е. менять свою форму или объем, под действием приложенной силы. Если такие деформации (т.е. изменения) исчезают после прекращения действия приложенной силы, то они называются упругими. Упругость играет важную роль в технике. Упругие пружины используются для гашения удара при посадке космического корабля на поверхность планеты. Свернутые в спираль упругие пластины применяются в заводных механизмах часов. Даже в мышеловке используется упругая деформация пружины.

Еще в XVII-M веке английский физик Роберт Гук, изучая упругие свойства разных материалов, вывел закон, названный его именем. Согласно закону Гука, для упругого деформирования материала требуется приложить силу, величина которой прямо пропорциональна его деформации. Например, чтобы растянуть пружину на величину ​\( x \)​, потребуется приложить внешнюю силу ​\( F_{вн} \)​, которая равна:

где ​\( k \)​ — это коэффициент пропорциональности.

Точнее говоря, вектор деформации ​\( \mathbf{x} \)​ всегда направлен противоположно силе сопротивления пружины (или силе упругости) \( \mathbf{F} \), а потому в векторную формулировку закона Гука обычно входит знак “минус”:

Растягиваем и сжимаем пружины

В реальном мире, помимо упругих деформаций, имеются еще и пластические деформации. Так называют деформации, которые остаются в объекте, хотя бы частично, даже после прекращения действия внешних сил. Если сила не превосходит некоторой известной величины, которая называется пределом упругости, то возникающая деформация будет пластической. Предел упругости имеет разные значения для разных материалов. Если деформируемый объект, например пружина, испытывает только упругие деформации, то его называют идеально упругим, например, идеально упругой пружиной. Коэффициент пропорциональности ​\( k \)​ в законе Гука ​\( F=kx \)​ называется коэффициентом упругости объекта, который зависит от материала объекта, его размеров и измеряется в Н/м.

Допустим, вам нужно спроектировать подвеску автомобиля массой 1000 кг, состоящую из 4 пружин, которые могут идеально упруго деформироваться на расстояние 0,5 м. Каким коэффициентом упругости должна обладать пружина, чтобы выдержать вес автомобиля?

Вес автомобиля равен ​\( mg \)​, где ​\( g \)​ — это ускорение свободного падения под действием силы гравитационного притяжения. Это значит, что на каждую пружину приходится вчетверо меньшая нагрузка ​\( mg/4 \)​.

Определим упругую деформацию пружины под действием этой нагрузки по формуле закона Гука:

т.е. коэффициент упругости равен:

Подставляя значения, получим:

Итак, чтобы выдержать вес автомобиля, потребуется пружина с коэффициентом упругости равным 4,9·103 Н/м. Не забудьте, что каждый элемент подвески автомобиля должен обладать определенным запасом прочности, чтобы выдерживать непредсказуемые превышения нагрузки, например на ухабах. Однако эта задача выходит за рамки данного курса.

Изучаем особенности закона Гука

Как уже упоминалось выше, в векторную формулировку закона Гука обычно входит знак “минус”:

Таким образом, знак “минус” выражает следующую особенность упругой деформации: сила упругости всегда противоположна деформации. На рис. 12.1 схематически показаны направления силы упругости и деформации при сжатии и растяжении пружины.

Как видите, при отсутствии растяжении или сжатия нет и деформации (см. схему А на рис. 12.1). Если пружина сжимается влево, то сила упругости направлена вправо (см. схему Б на рис. 12.1), а если пружина растягивается вправо, то сила упругости направлена влево (см. схему В на рис. 12.1).

Уравнение движения вращающегося тела

Рассматривая подобное свойство также следует уделить внимание уравнению движения вращающегося тела. Не стоит забывать о том, что вращательное движение твердого тела характеризуется наличием как минимум двух точек

При этом отметим нижеприведенные особенности:

  1. Прямая, которая соединяет две точки, выступает в качестве оси вращения.
  2. Есть возможность провести определение места положения объекта в случае вычисления заднего угла между двумя плоскостями.
  3. Наиболее важным показателем можно назвать угловую скорость. Она связана с инерцией, которая возникает при вращении объекта.

Для вычисления угловой скорости применяется специальная формула, которая выглядит следующим образом: w=df/dt

В некоторых случаях проводится вычисление углового ускорения, которое также является важной величиной

Закон сохранения энергии

Для замкнутой системы тел справедлив закон сохранения энергии:

полная механическая энергия замкнутой системы тел есть величина постоянная:
   

В случае, когда на тело (или систему тел) действуют внешние силы, например, сила трения, закон сохранения механической энергии не выполняется. В этом случае изменение полной механической энергии тела (системы тел) равно работе внешних сил:

Закон сохранения энергии позволяет установить количественную связь между различными формами движения материи. Так же, как и закон сохранения импульса, он справедлив не только для механических движений, но и для всех явлений природы. Закон сохранения энергии говорит о том, что в энергию в природе нельзя уничтожить так же, как и создать из ничего.

В наиболее общем виде закон сохранения энергии можно сформулировать так:

энергия в природе не исчезает и не создается вновь, а только превращается из одного вида в другой.

Уравнение движения крутящегося тела

Анализируя аналогичное свойство также необходимо уделять свое внимание уравнению движения крутящегося тела. Необходимо помнить про то, что круговое движение твёрдого тела отличается наличием как минимум 2-ух точек

При этом отметим приведенные ниже характерности:

  1. Прямая, которая соединяет две точки, выступает как оси вращения.
  2. Имеется возможность провести обозначение места положения объекта в случае вычисления заднего угла между 2-мя плоскостями.
  3. Более значимым критерием можно назвать угловую скорость. Она связана с инерцией, которая появляется во время вращения объекта.

Для вычисления угловой скорости применяется специализированная формула, которая выглядит так: w=df/dt. В большинстве случаев проходит вычисление углового ускорения, которое также считается значительной величиной.

Если вы нашли погрешность, пожалуйста, выдилите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Здесь поступим аналогичным образом. Величину, равную половине произведения жесткости пружины на квадрат ее удлинения, назовем потенциальной энергией деформированной пружины. Мы имеем право это сделать, поскольку изменение данной величины, взятой с обратным знаком, равно работе силы упругости. Теперь формулу для вычисления работы силы упругости можно озвучить по-другому: работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии упруго деформированного тела (пружины), взятому с обратным знаком:

Работа силы упругости, как и работа силы тяжести, зависит только от начального и конечного положения центра груза – это означает, что работа силы упругости не зависит от формы траектории груза, а в том случае, когда траектория является замкнутой, работа силы упругости равна 0.

Если за начало отсчета принять положение груза при недеформированной пружине, а после принять, что удлинение пружины равно  (см. рис. 7), то формула для работы силы упругости приобретает вид:

Рис. 7. Вычисление работы силы упругости

Но  – это потенциальная энергия пружины при ее удлинении на величину , следовательно, потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе тела (пружины) в состояние, в котором его деформация равна 0.

Когда мы описывали потенциальную энергию тела, поднятого над землей, мы говорили, что потенциальная энергия – это энергия взаимодействия тел и в том случае это была энергия взаимодействия двух тел – груза и земли. Что касается силы упругости, то о ней можно сказать почти то же самое – это тоже энергия взаимодействия, однако теперь это энергия взаимодействия не различных тел, а частей одного и того же тела – в нашем случае это энергия взаимодействия частей пружины.

Теперь рассмотрим задачу.

Вопрос 17

Текст вопроса

c2Fe6A В первой серии опытов по исследованию малых колебаний разных грузиков на нити одинаковой длины использовался алюминиевый грузик, во второй – деревянный такой же массы. Максимальный угол отклонения нити от вертикали в обоих исследованиях одинаковый.

Как при переходе от первой серии опытов ко второй изменятся период колебаний, частота колебаний и максимальная потенциальная энергия грузика, отсчитываемая от положения равновесия?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Период колебаний грузика

Частота колебаний грузика

Максимальная потенциальная энергия грузика

Вычисление работы силы упругости

Груз совершил известное перемещение, величину силы упругости мы также знаем, векторы перемещения и силы упругости параллельны. Казалось бы, все ясно – нужно умножить величину силы на величину перемещения и получить значение работы. Однако здесь не все так просто – разберемся почему.

О чем нам говорит формула, которая выражает величину силы упругости? О том, что сила упругости – величина не постоянная, она меняется по мере перемещения груза. И действительно, величина этой силы, как мы видим из формулы, зависит от координаты центра груза. Формула же для работы силы, которую мы применяли раньше, справедлива лишь в том случае, если сила не меняет свою величину по мере движения. Как же тогда быть? Один из вариантов выхода из данной ситуации мог бы состоять в том, что мы применим такой же метод, который применялся нами ранее в разделе кинематика при расчете перемещения тела, движущегося равноускоренно.

Можно всю траекторию движения груза разбить на очень маленькие участки (участки, в пределах которых силу упругости можно считать практически постоянной). Далее в пределах каждого такого участка мы можем рассчитать работу силы упругости ввиду ее практического постоянства. Затем работа на всей области движения груза будет складываться из всех этих маленьких работ на этих участках. Таким образом, мы сможем посчитать работу силы упругости на всей траектории движения груза. На рис. 4 приведены детали такого расчета.

Рис. 4. Зависимость силы упругости от координаты движения

Видно, что если отложить на графике зависимость модуля силы упругости от модуля координаты груза, затем проделать описанное выше разбиение на маленькие участки, то величина работы на каждом маленьком участке численно равна площади фигуры, ограниченной графиком: осью абсцисс и двумя перпендикулярами к этой оси (см. рис. 5).

Рис. 5. Площадь фигуры

Если просуммировать значение работы на каждом участке (площадь маленьких фигур), то получим площадь большой фигуры, показанной на рис. 6.

Рис. 6. Площадь большой фигуры

Поскольку данная фигура является прямоугольной трапецией, то мы можем воспользоваться формулой для расчета площади такой фигуры – это полусумма оснований, умноженная на высоту. В результате преобразований получим такую формулу – работа равна разности между величиной:

К этому результату можно прийти и несколько иным способом. Для вычисления работы силы упругости в этом способе необходимо просто взять среднее значение силы упругости и умножить его на перемещение тела. Это утверждение можно записать как:

,

где среднее значение силы упругости, которое равно полусумме начального и конечного ее значений. Если данное выражение подставить в формулу для работы, то при помощи простых алгебраических преобразований мы получим то же самое выражение, что получали ранее:

Как видно из этой формулы, работа зависит лишь от начальной и конечной координаты центра груза, и еще одно замечание: как видно из последней формулы, работа силы упругости никоим образом не зависит от массы груза. Это обусловлено тем, что и сама сила упругости не зависит от этой массы.

Теперь внимательнее посмотрим на последнюю формулу – если вынести -1 за скобки, то получим, что работа есть взятая со знаком минус разность между значениями некоторой величины, равной половине произведения жесткости пружины на квадрат ее удлинения в конечный и начальный моменты времени.

Вспомним, как мы поступили при расчете работы силы тяжести на прошлом уроке. В тот раз мы столкнулись с новой для нас физической величиной, разность между значениями которой в конечной и начальной моменты времени равнялась взятой со знаком « — » работе силы тяжести. Это величина, равная произведению массы тела на ускорение свободного падения и высоту, на которую было поднято тело над некоторым уровнем, мы назвали потенциальной энергией тела, поднятого над землей.

Потенциальная энергия пружины

Рассматривая в качестве накопителя энергии пружину, следует отметить ее отличительные свойства от иных физических тел, которые могут накапливать энергетический потенциал. Традиционно понимается следующее: для накопления потенциала для последующего движения необходимо совершение движения в силовом поле:

Еп = F ⋅ l, Дж (Н·м),

где Еп– потенциальная энергия положения, Дж;F – сила, действующая на тело, Н;l – величина перемещения в силовом поле, м.

Энергия (работа) измеряются в Джоулях. Величина представляет произведение силы (Н) на величину перемещения (м).

Если рассматривать условие в поле тяготения, то величина силы находится произведением ускорения свободного падения на массу. Здесь сила веса находится с учетом g:

Еп = G ⋅ h = m ⋅ g ⋅ h, Дж

здесь G – вес тела, Н;m – масса тела, кг;g – ускорение свободного падения. На Земле эта величина составляет g = 9,81 м/с².

Если расстраивается пружина, то силу F нужно определять, как величину, пропорциональную перемещению:

F = K ⋅ x, Н,

где k – модуль упругости, Н/м;х – перемещение при сжатии, м.

Величина сжатия может изменяться по величине, поэтому математики предложили анализировать подобные явления с помощью бесконечно малых величин (dx) .

При наличии непостоянной силы, зависящей от перемещения, дифференциальное уравнение запишется в виде:

dEп = k ⋅ x ⋅ dx

здесь dEп – элементарная работа, Дж;dx – элементарное приращение сжатия, Н.

Интегральное уравнение на конечном перемещении запишется в виде. Ниже вывод формулы:

Пределами интегрирования является интервал от до х. Деформированная пружина приобретает запас по энергетическим показателям

Окончательно формула для расчета величины потенциальной энергии сжатия (растягивания или изгиба) пружины запишется формулой:

Как сделать пружину своими руками из проволоки и на производстве: описываем досконально

Стальные пружины могут быть разных конфигураций и не всегда можно приобрести нужного вида – товар достаточно редкий на рынке. По этой причине для своих нужд я их делаю самостоятельно.

Требования к проволоке и ее диаметру

Стальная проволока для изготовления пружины, которая впоследствии будет подвергаться закалке, должна соответствовать требованиям, указанным в ГОСТ 14963-78. Согласно документу она классифицируется по таким признакам:

  • способу навивки (холодным способом и горячим);
  • способу отделки поверхности (без отделки и с отделкой);
  • точности изготовления (нормальная и повышенная);
  • классу механических свойств (общего и ответственного назначения);
  • диаметру (от 0,5 до 14 мм);
  • виду поставки (в прутках или мотках).

На промышленных предприятиях методом холодной навивки изготавливают пружины из проволоки, диаметр которой не превышает 16 мм, горячим способом – вплоть до 80 мм. При этом на производстве они навиваются с помощью вращающейся оправки, подающих роликов и одного или двух упорных штифтов.

Изготавливают изделия из проволоки марок 51ХВА, 70С3А, 65С2ВА, 60С2А, 65Г, 60ХВА с поверхностью шлифованной, полированной или без шлифования и полировки. По этому признаку и способу изготовления проволока выпускается в прутках или мотках таких групп:

  • А, Б, В, Г, Е – со специальной отделкой;
  • Н – без отделки.

Условное обозначение проволоки в технической документации и на сопроводительных бирках состоит из цифр и букв:

ХХХХХ (1) – Х (2) – Х (3) – Х (4) – ХХ (5) – ХХ (6) ГОСТ 14963-78 (7)

где:

  • 1 – марка стали;
  • 2 – способ отделки поверхности;
  • 3 – точность изготовления;
  • 4 — класс механической точности;
  • 5 — способ навивки;
  • 6 — диаметр в мм;
  • 7 — обозначение стандарта.

Например, проволока с полированной поверхностью, изготовленная из стали 60С2А повышенной точности I класса для пружин горячей навивки диаметром 2,0 мм будет иметь следующее обозначение:

60С2А – А – П – I – ГН – 2,0 ГОСТ 14963-78

В государственном стандарте оговариваются допустимые предельные отклонения, овальность и недопустимость наличия определенных видов дефектов, а также способы упаковки и транспортировки.

Расчет пружины

Для этого необходимо воспользоваться таблицей в разделе пружины, чтобы правильно выбрать диаметр стальной проволоки, количество витков и шаг. При этом огромную роль играет то, как должна работать новая пружина – на сжатие или растяжение.

Последняя разновидность пружин может иметь довольно сложную конструкцию, но и ее можно сделать самостоятельно.

Выполнив предварительные расчеты и выяснив толщину проволоки для стальной пружины, шаг и количество витков, а также определив конструкционные особенности и создав чертеж будущей пружины, можно переходить к практическим действиям.

Так же есть специальный софт для расчета всех параметров:

Типичные ошибки

Зажимаем оправку в патроне токарного станка. Вставляем конец стальной проволоки в отверстие в оправке, запускаем вращение и плотно наматываем стальную струну.

Проверив толщину пружины штангенциркулем, кусачками обрезаем проволоку и наблюдаем, как наша пружина увеличивается в диаметре.

К тому же снять ее с оправки будет довольно проблематично – для этого придется обрезать струну в самом начале витка.

Делаем правильно

Зажимаем проволоку на оправке с помощью винта.

Теперь нам необходимо создать натяжение стальной струны перед намоткой.

При помощи обычного куска плотного пластика зажать проволоку в держателе резцов будет недостаточно. Нам понадобится специальное приспособление с направляющей, в котором натяжение проволоки можно регулировать прижимной пластиной из мягкого металла (медь или бронза).

Также необходимо отрегулировать скорость вращения патрона токарного станка и перемещение рабочей платформы для получения нужного шага пружины.

Поделитесь в социальных сетях:vKontakteFacebookTwitter
Напишите комментарий